3.209 \(\int \frac{\coth (x)}{(a+b \text{sech}^2(x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=79 \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}} \]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - b/
(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.140218, antiderivative size = 79, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {4139, 446, 85, 156, 63, 208} \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - b/
(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])

Rule 4139

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/f, Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p)/x
, x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ[
n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 85

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f*(e + f*x)^(p +
1))/((p + 1)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)), x] + Dist[1/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)), Int[((b*d*e - b*c*f - a*d*f - b
*d*f*x)*(e + f*x)^(p + 1))/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth (x)}{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \left (-1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\text{sech}(x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) x (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b-b x}{(-1+x) x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )}{2 a (a+b)}\\ &=-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )}{2 a}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )}{2 (a+b)}\\ &=-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}\right )}{a b}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}\right )}{b (a+b)}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}}-\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.650541, size = 155, normalized size = 1.96 \[ \frac{\text{sech}^2(x) \left (\frac{\sqrt{2} \text{sech}(x) (a \cosh (2 x)+a+2 b)^{3/2} \left ((a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}+\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (x)\right )-a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a+b} \cosh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )\right )}{\sqrt{a} \sqrt{a+b}}-2 b (a \cosh (2 x)+a+2 b)\right )}{4 a (a+b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(Sech[x]^2*(-2*b*(a + 2*b + a*Cosh[2*x]) + (Sqrt[2]*(a + 2*b + a*Cosh[2*x])^(3/2)*(-(a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*
Sqrt[a + b]*Cosh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]) + (a + b)^(3/2)*Log[Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[x] + Sqrt[a + 2*b
+ a*Cosh[2*x]]])*Sech[x])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b])))/(4*a*(a + b)*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.101, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{{\rm coth} \left (x\right ) \left ( a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(coth(x)/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (x\right )}{{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(x)/(b*sech(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.7096, size = 18668, normalized size = 236.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^
2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*
b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4
*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b
+ a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6
+ 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 + 14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b
+ a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*co
sh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 +
b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*co
sh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 +
2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b + 3*(6*a^3 + 14
*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x
)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(
x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh
(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 3*a
^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 +
4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + s
inh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + (6*a^3 +
14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cos
h(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 2*(a^
3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2
+ a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((2*a + b)*
cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cos
h(x)^2 + 2*a + 3*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt((a*
cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*
a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x
)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^
2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b
+ 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(
x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(
-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2
)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 + (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 + 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) + (a^
2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
))/(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*sinh(x)^4 + 2*(a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^5 + 4*a
^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)
*cosh(x)^3 + (a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(4*(a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*
sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2
+ 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh
(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a
+ 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + ((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*
(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3
+ 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b +
a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 + 14*(a
^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*
a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)
^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a
^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x
))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a
^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b + 3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt
(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^6 +
3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a
^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a
*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh
(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cos
h(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a
^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 1
5*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^
2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b
+ 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(
x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(
-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2
)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 + (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 + 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) + (a^
2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
))/(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*sinh(x)^4 + 2*(a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^5 + 4*a
^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)
*cosh(x)^3 + (a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)
^4 + 4*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 +
2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2
)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sin
h(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)
*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^
4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(
x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a^
3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)
^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^
3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5
*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt
(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*
a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(
x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - (a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(
a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*
cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 +
2*(2*a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a + 3*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(
x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqr
t(2)*(a^2*b + a*b^2 + (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 + 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) + (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^
2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5 + 2*a^4*b + a
^3*b^2 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^5 + 2*a^4*b
+ a^3*b^2)*sinh(x)^4 + 2*(a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*
a^2*b^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^5 + 4
*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^2*b
+ a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b + a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5
*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^
2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan
(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 +
a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cos
h(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)
*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*
cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^4 + a^3 + 2*a^2*b +
a*b^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 + 2*a^2*b
+ a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 5*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(
x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^
2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 +
a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh
(x))*sinh(x) + a)) - 2*(a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh
(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*
sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sin
h(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*s
inh(x) + a)) + 2*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 + (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 + 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) + (a^2
*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
)/(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)*sinh(x)
^3 + (a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*sinh(x)^4 + 2*(a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^5 + 4*a^
4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 2*a^4*b + a^3*b^2)*
cosh(x)^3 + (a^5 + 4*a^4*b + 5*a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth{\left (x \right )}}{\left (a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*sech(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(coth(x)/(a + b*sech(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: RuntimeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: RuntimeError